Paradoxe des anniversaires : quelle est la probabilité d’un anniversaire commun ?

Pourquoi un groupe de 23 personnes rend-il un anniversaire commun probable ?

Dans le modèle classique, 23 personnes ont une probabilité de 50,73 % qu’au moins deux partagent un anniversaire. Un anniversaire commun signifie le même jour du même mois, quelle que soit l’année de naissance. Le calcul suppose des anniversaires indépendants et donne la même probabilité aux 365 dates. Le 29 février est exclu.

Un groupe de 23 personnes contient 253 paires possibles : 23 × 22 ÷ 2. Chacune peut partager une date. La paire n’a pas besoin de vous inclure.

Les 253 événements de paire ne sont pas tous indépendants. Si A partage l’anniversaire de B et B celui de C, alors A et C le partagent aussi. Multiplier 253 probabilités distinctes d’absence de paire ne donnerait donc pas un résultat exact. Calculez plutôt la probabilité que les 23 dates diffèrent, puis soustrayez-la de 1.

Comment calculer le paradoxe des anniversaires

La première personne peut avoir n’importe quel anniversaire. Pour que toutes les dates diffèrent, la deuxième dispose de 364 dates sur 365. La troisième en a 363, car deux dates sont déjà prises. Les possibilités diminuent à chaque personne.

Pour 23 personnes :

P(aucun anniversaire commun) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × … × (343/365)

P(au moins un anniversaire commun) = 1 − P(aucun anniversaire commun)

La solution de Harvard au problème des anniversaires explique ce calcul et le seuil de 23 personnes. Vous pouvez le refaire pour toute taille de groupe. Avec 366 personnes et seulement 365 dates possibles, au moins deux partagent nécessairement une date.

Un calcul détaillé pour 23 personnes

Supposez que toutes les dates déjà présentes diffèrent. À l’arrivée de la 23e personne, 22 dates sont prises. Il reste 343 dates sur 365. Le facteur 343/365 est le dernier terme du produit d’absence de paire. À lui seul, il n’est pas la probabilité que toutes les dates du groupe diffèrent.

Le produit de tous les facteurs, de la première à la 23e personne, donne 49,27 % sans anniversaire commun. Soustraire ce résultat de 100 % donne 50,73 % pour au moins une paire. Les étapes ci-dessous montrent comment le produit diminue lorsque le groupe grandit.

Lisez la colonne « Dates disponibles » en supposant que toutes les dates précédentes diffèrent. Si deux personnes précédentes partagent déjà une date, le groupe a déjà une paire commune. Chaque nouveau facteur demande si la personne suivante évite les dates distinctes déjà prises.

Pourquoi le nombre attendu de paires n’est-il pas la probabilité d’un anniversaire commun ?

Un groupe de 23 personnes contient 253 paires possibles. Dans le modèle classique, chaque paire a une probabilité de 1/365 de partager une date. Le nombre attendu de paires communes est donc 253/365 = 0,693.

Cela représente une moyenne de 0,693 paire commune sur de nombreux groupes modélisés. Cela ne signifie pas une probabilité de 69,32 % d’avoir une paire. Certains groupes n’en ont aucune, d’autres plusieurs. Trois personnes partageant une date créent par exemple trois paires dans un seul groupe.

Dans les grands groupes, le nombre attendu peut dépasser un. Une probabilité ne dépasse jamais 100 %. Le nombre attendu est utile, mais ne remplace pas le produit d’absence de paire. L’explication pour deux personnes (en anglais) commence avec une seule paire. Le guide pour trois personnes (en anglais) calcule l’événement plus strict d’un trio partageant une date quelconque dans le groupe.

Les données réelles de naissance changent-elles le résultat ?

La distribution historique des États-Unis donne une probabilité de 50,78 % pour 23 personnes. Le modèle classique donne 50,73 %. L’écart est d’environ 0,05 point de pourcentage. Les deux dépassent 50 % pour la première fois à 23 personnes.

Le modèle historique utilise la part de chaque date parmi 85 712 738 naissances enregistrées aux États-Unis de 1994 à 2014. Les dates comme le 9 septembre reçoivent leur poids observé. Le 29 février est inclus avec sa part observée beaucoup plus faible.

Notre étude de la distribution des naissances (en anglais) mesure combien de dates s’écartent d’une référence quotidienne uniforme dans les mêmes données historiques. Elle compare aussi le 29 février en utilisant seulement les années où il apparaît.

La comparaison modifie deux choses à la fois : les poids des dates et la possibilité d’un 29 février. Elle ne permet pas de répartir l’écart entre ces deux changements. Dans les deux versions, 23 reste la première taille de groupe dont la probabilité dépasse une chance sur deux.

Ces probabilités supposent des tirages indépendants dans la distribution de chaque modèle. Ce sont des calculs, pas des observations de groupes réels. Une famille ou un groupe né pendant la même période pourrait avoir des probabilités différentes.

Et si je veux qu’une personne partage mon anniversaire ?

Si vous faites partie des 23 personnes, seules les 22 autres peuvent partager votre anniversaire. Une paire formée par deux autres personnes répond à une autre question.

Dans le modèle classique, la probabilité qu’au moins une des 22 autres personnes partage votre date est de 5,86 %. La probabilité d’une paire quelconque parmi les 23 est de 50,73 %.

P(une personne partage votre anniversaire) = 1 − (364/365)^22

Pour une date dont la part est p, la formule devient 1 − (1 − p)^22. La part historique du 9 septembre donne 6,45 %. C’est une probabilité selon le modèle historique, pas un nombre de personnes vivantes partageant cet anniversaire.

Consultez la part de votre date de naissance ou découvrez pourquoi le 9 septembre arrive en tête du classement (en anglais). Pour le 29 février, seule la formule historique s’applique. Le modèle classique ne contient pas cette date. Le guide du 29 février explique sa faible part observée.

Quelle est la probabilité de rencontrer une personne née le même jour, le même mois et la même année ?

Les probabilités dépendent des âges et des anniversaires des personnes rencontrées. Une date de naissance complète doit correspondre au même jour, au même mois et à la même année. Le calculateur ci-dessus compare seulement le mois et le jour.

Pour une personne tirée d’un groupe défini, multipliez la probabilité de partager votre année de naissance par celle de partager votre mois et jour dans cette année. Il s’agit de la règle de multiplication des probabilités conditionnelles.

Les deux probabilités doivent décrire ce groupe. Si tous sont nés dans votre année, l’année correspond déjà. Si personne ne l’est, une date complète commune est impossible. Des camarades de classe et des personnes d’âges variés nécessitent des hypothèses différentes sur les années de naissance. Ces années ne sont pas forcément équiprobables.

Si chacune des n personnes a indépendamment la même probabilité p de partager votre date complète, la probabilité qu’au moins une corresponde est 1 − (1 − p)^n. Les rencontres réelles peuvent ne pas respecter ces hypothèses. Nos données historiques des États-Unis ne décrivent ni toutes les personnes vivantes ni celles que vous rencontrez. Elles ne donnent donc pas de valeur universelle pour p.

Sources, hypothèses et résultats à télécharger

Le calcul classique suit la démonstration du problème des anniversaires par Harvard. Les poids historiques des dates proviennent des fichiers de naissance de FiveThirtyEight à la révision fixée : CDC/NCHS de 1994 à 1999, puis SSA de 2000 à 2014. Nous excluons les années CDC communes aux deux sources.

Le calcul historique additionne les façons dont toutes les dates peuvent différer, puis soustrait cette probabilité de 1. Il tire chaque anniversaire indépendamment dans la même distribution de 366 dates. Chaque poids vient de la part d’une date dans le total des naissances enregistrées, pas des naissances par apparition dans le calendrier.

La couverture administrative diffère entre CDC/NCHS et SSA. Ces poids historiques ne décrivent donc ni toutes les personnes vivantes ni les anniversaires mondiaux. Les résultats affichés sont arrondis. Même 99,99 % n’est pas une certitude. Une paire devient garantie à 366 personnes dans le modèle à 365 dates, ou 367 dans celui à 366 dates.

Télécharger les résultats des calculs (en anglais) ou lire la méthodologie pour la couverture des sources et la définition de la part des naissances.

Télécharger les étapes détaillées et les calculs du nombre attendu de paires (en anglais) pour les exemples de formules développées.

Pour une date de naissance connue, l’article combien de personnes partagent votre date (en anglais) explique les nombres attendus, plutôt que la probabilité d’une paire quelconque dans un groupe.