Rechner zum Geburtstagsparadoxon
Wähle eine Gruppengröße und berechne, wie wahrscheinlich es ist, dass mindestens zwei Personen am selben Tag und im selben Monat Geburtstag haben.
Bei 23 Personen
Mindestens ein gemeinsamer GeburtstagBei 23 Personen: klassisches Modell 50,73 %; historische US-Geburtsdaten 50,78 %.
Was die beiden Schätzungen bedeuten. Das klassische Modell nimmt 365 gleich wahrscheinliche Daten an und schließt den 29. Februar aus. Das historische Modell verwendet 85.712.738 US-Geburten von 1994 bis 2014 über 366 Daten, einschließlich des Schalttags. Beide Modelle nehmen unabhängige Ziehungen an. Alle Personen gehören zur Gruppe. Das Geburtsjahr spielt keine Rolle. Die Prozentwerte sind gerundete Schätzungen und keine Garantien.
23 Personen. 253 mögliche Paare.
Die Frage ist, ob irgendein Paar denselben Geburtstag hat
Balken: Wahrscheinlichkeit mindestens einer Paarübereinstimmung, ab null. Gesamtskala: 100 %. 1 − Produkt der Wahrscheinlichkeiten verschiedener Daten. 365 gleich wahrscheinliche Daten, unabhängige Ziehungen, kein Schalttag. Die erwartete Paarzahl ist keine Übereinstimmungswahrscheinlichkeit.
Warum machen 23 Personen einen gemeinsamen Geburtstag wahrscheinlich?
Im klassischen Modell haben 23 Personen eine Chance von 50,73 %, dass mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben. Eine Übereinstimmung bedeutet gleicher Monat und Tag, unabhängig vom Geburtsjahr. Diese Berechnung nimmt unabhängige Geburtstage an und gibt jedem der 365 Daten die gleiche Chance. Der 29. Februar ist ausgeschlossen.
Bei 23 Personen gibt es 253 mögliche Paare: 23 × 22 ÷ 2. Jedes dieser Paare kann dasselbe Datum haben. Du musst nicht zu diesem Paar gehören.
Die 253 Paarereignisse sind nicht alle unabhängig. Wenn A und B sowie B und C denselben Geburtstag haben, stimmen auch A und C überein. Die Multiplikation von 253 einzelnen Wahrscheinlichkeiten für keine Übereinstimmung ergibt deshalb kein genaues Ergebnis. Berechne stattdessen die Chance, dass alle 23 Geburtstage verschieden sind. Ziehe sie dann von 1 ab.
So funktioniert die Berechnung des Geburtstagsparadoxons
Die erste Person kann jeden Geburtstag haben. Damit alle Daten verschieden bleiben, stehen der zweiten Person 364 von 365 Daten zur Verfügung. Die dritte hat 363, weil zwei Daten schon belegt sind. Mit jeder Person gibt es weniger freie Daten.
Für 23 Personen:
P(kein gemeinsamer Geburtstag) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × … × (343/365)
P(mindestens ein gemeinsamer Geburtstag) = 1 − P(kein gemeinsamer Geburtstag)
Der Lösung des Geburtstagsproblems von Harvard erklärt diese Berechnung und die Schwelle von 23 Personen. Du kannst sie für jede Gruppengröße wiederholen. Bei 366 Personen und nur 365 möglichen Daten müssen mindestens zwei übereinstimmen.
Rechenbeispiel mit 23 Personen
Nimm an, dass alle bisherigen Geburtstage verschieden sind. Wenn die 23. Person hinzukommt, sind 22 Daten belegt. Es bleiben 343 von 365 Daten verfügbar. Dieser Faktor, 343/365, ist der letzte Teil des Produkts ohne Übereinstimmung. Er allein ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass alle Geburtstage im Raum verschieden sind.
Das Produkt aller Faktoren von der ersten bis zur 23. Person ergibt 49,27 % für keinen gemeinsamen Geburtstag. Von 100 % abgezogen ergibt das 50,73 % für mindestens eine Übereinstimmung. Die folgende Tabelle zeigt, wie das Produkt mit wachsender Gruppe kleiner wird.
| Personen bisher | Verfügbare Daten für die letzte Person | Chance auf ausschließlich verschiedene Geburtstage | Chance auf mindestens ein passendes Paar |
|---|---|---|---|
| 1 | 365 von 365 | 100,00 % | 0,00 % |
| 2 | 364 von 365 | 99,73 % | 0,27 % |
| 3 | 363 von 365 | 99,18 % | 0,82 % |
| 10 | 356 von 365 | 88,31 % | 11,69 % |
| 20 | 346 von 365 | 58,86 % | 41,14 % |
| 22 | 344 von 365 | 52,43 % | 47,57 % |
| 23 | 343 von 365 | 49,27 % | 50,73 % |
| 50 | 316 von 365 | 2,96 % | 97,04 % |
Die Spalte „Verfügbare Daten“ nimmt an, dass alle bisherigen Geburtstage verschieden sind. Wenn schon zwei frühere Personen dasselbe Datum haben, besteht bereits eine Übereinstimmung. Jeder neue Faktor fragt, ob die nächste Person die bisher belegten Daten vermeidet.
Warum die erwartete Paarzahl keine Wahrscheinlichkeit ist
Bei 23 Personen gibt es 253 mögliche Paare. Jedes Paar hat im klassischen Modell eine Chance von 1/365 auf eine Übereinstimmung. Die erwartete Anzahl passender Paare ist deshalb 253/365 = 0,693.
Das bedeutet durchschnittlich 0,693 passende Paare über viele modellierte Gruppen. Es bedeutet keine Chance von 69,32 % auf eine Übereinstimmung. Manche Gruppen haben kein solches Paar, andere mehrere. Drei Personen mit demselben Geburtstag ergeben zum Beispiel drei passende Paare in einer Gruppe.
| Personen | Mögliche Paare | Erwartete passende Paare | Chance auf mindestens eine Übereinstimmung |
|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 0,008 | 0,82 % |
| 10 | 45 | 0,123 | 11,69 % |
| 23 | 253 | 0,693 | 50,73 % |
| 50 | 1.225 | 3,356 | 97,04 % |
Bei größeren Gruppen kann die erwartete Zahl eins übersteigen. Eine Wahrscheinlichkeit kann niemals über 100 % liegen. Die erwartete Zahl ist hilfreich, ersetzt aber nicht das Produkt ohne Übereinstimmung. Die Erklärung für zwei Personen (Englisch) beginnt mit einem einzelnen Paar. Der Ratgeber für drei Personen (Englisch) berechnet das strengere Ereignis einer Dreierübereinstimmung irgendwo in einer Gruppe.
Ändern echte Geburtsdaten die Antwort?
Die historische US-Verteilung ergibt für 23 Personen eine Übereinstimmungschance von 50,78 %. Das klassische Modell ergibt 50,73 %. Der Unterschied beträgt ungefähr 0,05 Prozentpunkte. Beide überschreiten 50 % erstmals bei 23 Personen.
| Personen in der Gruppe | Klassisches Modell | Historisches US-Modell |
|---|---|---|
| 10 | 11,69 % | 11,71 % |
| 23 | 50,73 % | 50,78 % |
| 30 | 70,63 % | 70,68 % |
| 50 | 97,04 % | 97,05 % |
| 100 | >99,99 % | >99,99 % |
Für das historische Modell verwenden wir den Anteil jedes Datums an 85.712.738 erfassten US-Geburten von 1994 bis 2014. Daten wie der 9. September erhalten ihr beobachtetes Gewicht. Der 29. Februar ist mit seinem deutlich kleineren beobachteten Anteil eingeschlossen.
Unsere Studie zur Geburtstagsverteilung (Englisch) misst, wie viele Daten von einer Referenz mit gleicher täglicher Geburtszahl in denselben historischen Aufzeichnungen abweichen. Sie vergleicht den 29. Februar außerdem nur in Jahren, in denen er vorkam.
Der Vergleich verändert zwei Dinge zugleich: die Datumsgewichte und die Möglichkeit des 29. Februar. Er zeigt nicht, welcher Anteil des Unterschieds auf welche Änderung zurückgeht. In beiden Modellen ist 23 die erste Gruppengröße mit einer Chance über der Hälfte.
Diese Wahrscheinlichkeiten nehmen unabhängige Ziehungen aus der Geburtstagsverteilung des jeweiligen Modells an. Es sind Berechnungen, keine Beobachtungen tatsächlicher Gruppen. Eine Familie oder eine Gruppe aus demselben Geburtszeitraum kann andere Wahrscheinlichkeiten haben.
Was gilt, wenn jemand meinen Geburtstag haben soll?
Wenn du zu den 23 Personen gehörst, können nur die anderen 22 deinen Geburtstag haben. Eine Übereinstimmung zwischen zwei anderen Personen beantwortet eine andere Frage.
Im klassischen Modell hat mindestens eine dieser 22 Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von 5,86 % deinen Geburtstag. Irgendeine Übereinstimmung unter den 23 Personen hat eine Wahrscheinlichkeit von 50,73 %.
P(jemand hat deinen Geburtstag) = 1 − (364/365)^22
Für ein Datum mit Anteil p lautet die Formel 1 − (1 − p)^22. Der historische Anteil des 9. September ergibt 6,45 %. Das ist die Chance im historischen Modell, keine Anzahl heute lebender Menschen mit diesem Geburtstag.
Den Anteil deines Geburtstags nachsehen oder sieh nach, warum der 9. September die Rangliste anführt (Englisch). Für den 29. Februar gilt nur die historische Formel. Das klassische Modell enthält keinen Schalttag. Der Schalttagsratgeber erklärt seinen kleinen beobachteten Anteil.
Wie wahrscheinlich ist eine Begegnung mit gleichem Geburtstag und Geburtsjahr?
Die Wahrscheinlichkeit hängt vom Alter und den Geburtstagen der Menschen ab, denen du begegnest. Ein vollständiges Geburtsdatum muss in Monat, Tag und Jahr übereinstimmen. Der Rechner oben vergleicht nur Monat und Tag.
Für eine Person aus einer definierten Gruppe multipliziere die Chance auf dasselbe Geburtsjahr mit der Chance auf denselben Monat und Tag innerhalb dieses Jahrgangs. Dafür gilt die Multiplikationsregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Beide Wahrscheinlichkeiten müssen diese Gruppe beschreiben. Wenn alle in deinem Jahr geboren wurden, stimmt das Jahr bereits überein. Wenn niemand in deinem Jahr geboren wurde, ist ein vollständig gleiches Datum unmöglich. Gleichaltrige Klassenmitglieder und Menschen unterschiedlicher Altersgruppen benötigen unterschiedliche Annahmen zum Geburtsjahr. Die Jahre müssen nicht gleich wahrscheinlich sein.
Wenn jede von n Personen unabhängig die gleiche Wahrscheinlichkeit p für dein vollständiges Geburtsdatum hat, beträgt die Chance auf mindestens eine Übereinstimmung 1 − (1 − p)^n. Echte Begegnungen erfüllen diese Annahmen möglicherweise nicht. Unsere historischen US-Geburtsdaten beschreiben weder alle lebenden Menschen noch die Menschen, denen du begegnest. Sie liefern deshalb keinen allgemeingültigen Wert für p.
Quellen, Annahmen und Ergebnisse zum Herunterladen
Die klassische Berechnung folgt der Herleitung des Geburtstagsproblems von Harvard. Historische Datumsgewichte stammen aus festgelegten Geburtsdateien von FiveThirtyEight: CDC/NCHS für 1994 bis 1999, danach SSA für 2000 bis 2014. Die überlappenden CDC-Jahre sind ausgeschlossen.
Die historische Berechnung addiert die Möglichkeiten für ausschließlich verschiedene Geburtstage. Dann zieht sie diese Wahrscheinlichkeit von 1 ab. Jeder Geburtstag wird unabhängig aus derselben Verteilung mit 366 Daten gezogen. Jedes Gewicht stammt vom Anteil eines Datums an allen erfassten Geburten, nicht von Geburten je Kalendervorkommen.
CDC/NCHS und SSA haben einen unterschiedlichen administrativen Erfassungsumfang. Diese historischen Gewichte beschreiben deshalb weder alle heute lebenden Menschen noch weltweite Geburtstage. Die angezeigten Ergebnisse sind gerundet. Auch 99,99 % bedeutet keine Gewissheit. Eine Übereinstimmung ist bei 366 Personen im Modell mit 365 Daten oder bei 367 im Modell mit 366 Daten garantiert.
Berechnungsergebnisse herunterladen (Englisch) oder lies die Methodik zum Erfassungsumfang und zur Definition des Geburtenanteils.
Zwischenschritte und Berechnungen der erwarteten Paarzahl herunterladen (Englisch) für die ausführlichen Rechenbeispiele.
Für einen bekannten Geburtstag erklärt wie viele Menschen dein Datum teilen (Englisch) die erwarteten Übereinstimmungen statt der Chance auf irgendein passendes Paar in einer Gruppe.