Calculadora de la paradoja del cumpleaños
Elige el tamaño del grupo para calcular la probabilidad de que dos personas cualesquiera compartan el mismo día y mes de nacimiento.
Para 23 personas
Al menos un cumpleaños compartidoPara 23 personas: clásico 50,73 % nacimientos históricos de Estados Unidos 50,78 %.
Lo que significan las dos estimaciones. El modelo clásico supone 365 fechas equiprobables y excluye el 29 de febrero. El histórico utiliza 85.712.738 nacimientos de Estados Unidos de 1994 a 2014, distribuidos entre 366 fechas, incluido el día bisiesto. Ambos modelos usan selecciones independientes. El grupo incluye a todas las personas, sin importar el año de nacimiento. Los porcentajes son estimaciones redondeadas, no garantías.
23 personas. 253 posibles pares.
La pregunta es si algún par comparte un cumpleaños
Barras: probabilidad de al menos un par coincidente, desde cero. La escala completa es 100%. 1 − producto de probabilidades de fechas distintas. 365 fechas equiprobables, selecciones independientes, sin día bisiesto. El número esperado de pares no es la probabilidad de una coincidencia.
¿Por qué es probable un cumpleaños compartido con 23 personas?
En el modelo clásico, 23 personas tienen una probabilidad de 50.73% de que al menos dos compartan cumpleaños. Una coincidencia significa tener el mismo mes y día, sin importar el año de nacimiento. Este cálculo supone cumpleaños independientes y asigna la misma probabilidad a cada una de las 365 fechas. El 29 de febrero queda excluido.
Una sala con 23 personas tiene 253 pares posibles: 23 × 22 ÷ 2. Cualquiera de esos pares puede compartir una fecha. El par no tiene que incluirte.
Los 253 eventos de coincidencia entre pares no son todos independientes. Si A comparte cumpleaños con B y B lo comparte con C, A y C también deben coincidir. Por eso, multiplicar 253 probabilidades separadas de no coincidencia daría un resultado exacto incorrecto. En su lugar, calcula la probabilidad de que los 23 cumpleaños sean distintos y réstala de 1.
Cómo funciona el cálculo de la paradoja del cumpleaños
La primera persona puede tener cualquier cumpleaños. Para que todas tengan fechas distintas, la segunda dispone de 364 fechas posibles entre 365. La tercera tiene 363 porque dos fechas ya están ocupadas. Las opciones disponibles disminuyen con cada persona.
Para 23 personas:
P(ningún cumpleaños compartido) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × … × (343/365)
P(al menos un cumpleaños compartido) = 1 − P(no cumpleaños compartido)
La solución de Harvard al problema del cumpleaños desarrolla este cálculo y el umbral de 23 personas. Puedes repetirlo para cualquier tamaño de grupo. Con 366 personas y solo 365 fechas posibles, al menos dos deben coincidir.
Ejemplo de cálculo para 23 personas
Supón que todos los cumpleaños ya introducidos son distintos. Cuando llega la persona 23, hay 22 fechas ocupadas y quedan 343 de las 365 fechas disponibles. Ese factor, 343/365, es la última parte del producto de no coincidencia. Por sí solo, no es la probabilidad de que todos los cumpleaños de la sala sean distintos.
Multiplicar todos los factores desde la primera persona hasta la persona 23 da 49.27% de probabilidad de ningún cumpleaños compartido. Restar ese resultado de 100% da 50.73% de probabilidad de al menos una coincidencia. Los puntos de comprobación siguientes muestran cómo disminuye el producto al crecer el grupo.
| Personas hasta ahora | Fechas disponibles para la última persona | Probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos | Probabilidad de al menos un par coincidente |
|---|---|---|---|
| 1 | 365 de 365 | 100,00 % | 0,00 % |
| 2 | 364 de 365 | 99,73 % | 0,27 % |
| 3 | 363 de 365 | 99,18 % | 0,82 % |
| 10 | 356 de 365 | 88,31 % | 11,69 % |
| 20 | 346 de 365 | 58,86 % | 41,14 % |
| 22 | 344 de 365 | 52,43 % | 47,57 % |
| 23 | 343 de 365 | 49,27 % | 50,73 % |
| 50 | 316 de 365 | 2,96 % | 97,04 % |
Lee la columna «Fechas disponibles» suponiendo que todos los cumpleaños anteriores son distintos. Si dos personas anteriores ya comparten una fecha, el grupo ya tiene una coincidencia. Cada nuevo factor pregunta si la siguiente persona evita las fechas distintas ya ocupadas.
¿Por qué el número esperado de pares coincidentes no es la probabilidad de una coincidencia?
Hay 253 pares posibles en una sala con 23 personas. Cada par tiene una probabilidad de 1/365 de coincidir en el modelo clásico. Por tanto, el número esperado de pares coincidentes es 253/365 = 0.693.
Eso significa una media de 0.693 pares coincidentes entre muchos grupos modelados. No significa una probabilidad de 69.32% de una coincidencia. Algunos grupos no tienen ninguna, mientras que otros aportan varios pares. Por ejemplo, tres personas que comparten una fecha aportan tres pares coincidentes en un solo grupo.
| Personas | Posibles pares | Número esperado de pares coincidentes | Probabilidad de al menos una coincidencia |
|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 0,008 | 0,82 % |
| 10 | 45 | 0,123 | 11,69 % |
| 23 | 253 | 0,693 | 50,73 % |
| 50 | 1.225 | 3,356 | 97,04 % |
En grupos mayores, el número esperado puede superar uno, mientras que una probabilidad nunca puede superar el 100%. El número esperado es útil, pero no sustituye al producto de no coincidencia. La explicación para dos personas empieza con un solo par. La guía para tres personas calcula el evento más estricto de un trío coincidente en cualquier parte del grupo.
¿El uso de registros de nacimientos reales cambia la respuesta?
La distribución histórica de Estados Unidos da una probabilidad de coincidencia de 50.78% para 23 personas. El modelo clásico da 50.73%. Difieren en aproximadamente 0.05 puntos porcentuales y ambos superan por primera vez el 50% con 23 personas.
| Personas en grupo | Modelo clásico | Modelo histórico de Estados Unidos |
|---|---|---|
| 10 | 11,69 % | 11,71 % |
| 23 | 50,73 % | 50,78 % |
| 30 | 70,63 % | 70,68 % |
| 50 | 97,04 % | 97,05 % |
| 100 | >99,99 % | >99,99 % |
Para el modelo histórico, usamos la proporción de cada fecha entre los 85,712,738 nacimientos registrados en Estados Unidos de 1994 a 2014. Fechas como el 9 de septiembre reciben su peso observado. El 29 de febrero se incluye con su proporción observada, mucho menor.
Nuestro estudio de la distribución de cumpleaños mide cuántas fechas se apartan de una referencia de nacimientos diarios uniformes en los mismos registros históricos. También compara el 29 de febrero usando solo los años en que apareció.
La comparación cambia dos cosas a la vez: los pesos de las fechas y la posibilidad del 29 de febrero. No indica cuánto de la diferencia procede de cada cambio. En ambas versiones, 23 sigue siendo el primer tamaño de grupo cuya probabilidad supera la mitad.
Estas probabilidades suponen selecciones independientes de la distribución de cumpleaños de cada modelo. Son cálculos, en lugar de observaciones de salas reales. Una familia o un grupo de personas nacidas en el mismo período podría tener probabilidades distintas.
¿Y si quiero que alguien comparta mi cumpleaños?
Si eres una de las 23 personas, solo las otras 22 pueden coincidir con tu cumpleaños. Una coincidencia entre otras dos personas responde a otra pregunta.
En el modelo clásico, al menos una de esas 22 personas coincide con tu fecha con probabilidad 5.86%. Una coincidencia en cualquier parte del grupo de 23 tiene probabilidad 50.73%.
P(alguien coincide con tu cumpleaños) = 1 − (364/365)^22
Para una fecha con proporción p, la fórmula es 1 − (1 − p)^22. La proporción histórica del 9 de septiembre da 6.45%. Esta es la probabilidad bajo el modelo histórico, en lugar de un recuento de personas vivas que comparten ese cumpleaños.
Consulta la proporción de tu cumpleaños o descubre por qué el 9 de septiembre lidera la clasificación. Para el 29 de febrero, solo se aplica la fórmula histórica. El modelo clásico no incluye una categoría de día bisiesto. La guía del día bisiesto explica su pequeña proporción observada.
¿Cuáles son las probabilidades de conocer a alguien con el mismo cumpleaños y año?
Las probabilidades dependen de las edades y los cumpleaños de las personas que conoces. Una coincidencia de fecha de nacimiento completa exige el mismo mes, día y año. La calculadora anterior compara solo mes y día.
Para una persona seleccionada de un grupo definido, multiplica la probabilidad de compartir tu año de nacimiento por la probabilidad de compartir tu mes y día entre las personas de ese año. Esta es la regla de multiplicación de la probabilidad condicional.
Ambas probabilidades deben describir ese grupo. Si todas las personas nacieron en tu año, el año ya coincide. Si ninguna nació en él, una coincidencia de fecha completa es imposible. Los compañeros de clase y las personas de edades muy diversas requieren supuestos distintos sobre los años de nacimiento. Esos años no tienen por qué ser equiprobables.
Si cada una de n personas tiene de forma independiente la misma probabilidad p de coincidir con tu fecha completa, la probabilidad de que al menos una coincida es 1 − (1 − p)^n. Los encuentros reales pueden no cumplir esos supuestos. Nuestros registros históricos de nacimientos de Estados Unidos no describen a todas las personas vivas ni a las personas que conoces. Por eso no pueden dar un valor universal de p.
Fuentes, hipótesis y resultados descargables
El cálculo clásico sigue la deducción de Harvard del problema del cumpleaños. Los pesos históricos de las fechas proceden de los archivos fijados de nacimientos de FiveThirtyEight: CDC/NCHS de 1994 a 1999, seguidos de SSA de 2000 a 2014. Excluimos los años superpuestos de CDC.
El cálculo histórico suma las formas en que todas las personas pueden tener fechas distintas. Después resta esa probabilidad de 1. Selecciona cada cumpleaños de forma independiente de la misma distribución de 366 fechas. Cada peso procede de la proporción de esa fecha entre todos los nacimientos registrados, en lugar de sus nacimientos por aparición en el calendario.
CDC/NCHS y SSA tienen distinta cobertura administrativa. Por eso estos pesos históricos no describen a todas las personas vivas ni los cumpleaños mundiales. Los resultados mostrados están redondeados. Incluso 99.99% no alcanza la certeza. Se garantiza una coincidencia con 366 personas en el modelo de 365 fechas o con 367 en el modelo de 366 fechas.
Descarga los resultados del cálculo (datos en inglés) o consulta la metodología para conocer la cobertura de las fuentes y la definición de proporción de nacimientos.
Descarga los puntos de comprobación calculados y los cálculos del número esperado de pares (datos en inglés) para los ejemplos ampliados de las fórmulas.
Para un cumpleaños conocido, cuántas personas comparten tu fecha explica las coincidencias esperadas, en lugar de la probabilidad de cualquier par coincidente en un grupo.