Tres personas concretas tienen una probabilidad de 1 entre 133,225 de compartir todas un cumpleaños en el modelo clásico: 0.000751%. El modelo supone cumpleaños independientes entre 365 combinaciones equiprobables de mes y día, sin el 29 de febrero.
Encontrar cualquier triple en un grupo mayor es mucho más probable. Con 23 personas, la probabilidad clásica de que al menos tres compartan una fecha es 1.27%. Con 50 personas es 12.64%. Esta pregunta permite que coincidan tres personas cualesquiera del grupo.
¿Cuándo un grupo comparte un triple?
Al menos tres personas en cualquier fecha, bajo el modelo clásico
Barras: probabilidad de al menos una fecha compartida por 3 o más personas. Base en cero, escala completa de 100%. 365 fechas equiprobables. Cumpleaños independientes. Se excluye el día bisiesto. Tres personas concretas: 1 de cada 133,225.
¿Por qué la respuesta es 1 entre 365 al cuadrado?
Para tres personas concretas, el cumpleaños de la primera puede ser cualquier fecha. La segunda debe coincidir con ella, con probabilidad 1/365. La tercera también debe coincidir con ella de forma independiente, con probabilidad 1/365.
P(las tres personas comparten cualquier fecha) = (1/365) × (1/365) = 1/365²
Usar tres factores de 1/365 significaría que las tres tienen una fecha concreta elegida de antemano. Ese es un evento más específico. La solución de Harvard al problema del cumpleaños hace la misma distinción al extender las coincidencias de cumpleaños a grupos mayores.
Si el primer cumpleaños ya se conoce y las fechas no son equiprobables, usa la proporción p de esa fecha. La probabilidad de que otras dos personas seleccionadas de forma independiente coincidan ambas con ella es p². El artículo sobre dos personas explica la diferencia entre una fecha conocida y la fecha de una primera persona aleatoria.
¿Qué cambia con las frecuencias históricas de nacimientos?
Para tres personas seleccionadas independientemente sin cumpleaños fijado, la probabilidad de que las tres tengan una fecha con proporción p es p³. Suma p³ para todas las fechas para permitir que compartan cualquier cumpleaños.
La distribución observada de las 366 fechas de Estados Unidos de 1994 a 2014 da un 0.000755%, o aproximadamente 1 de cada 132,450, para tres personas concretas. Este es un modelo que utiliza las proporciones de nacimientos registradas, no una tasa medida entre los grupos actuales de personas.
| Cumpleaños conocidos | Otra persona coincide con la fecha | Otras dos personas coinciden con la fecha | Al menos una de otras 22 personas coincide |
|---|---|---|---|
| 9 de septiembre | 0,3024 % | 0,000915 % | 6,45 % |
| 4 de julio | 0,2162 % | 0,000467 % | 4,65 % |
| 25 de diciembre | 0,1617 % | 0,000262 % | 3,50 % |
| 29 de febrero | 0,0613 % | 0,000038 % | 1,34 % |
En esta tabla, lee «Otras dos personas coinciden con la fecha» para un cumpleaños que ya conoces. Esa columna usa p². Cuando se desconocen los tres cumpleaños, la suma de p³ permite que compartan cualquier fecha.
¿Qué tan probable es un triple en cualquier parte de un grupo?
El evento del grupo exige que al menos una fecha corresponda a tres o más personas. Un grupo con cuatro personas que comparten una fecha también cuenta. Dos pares coincidentes separados no cuentan, salvo que tres personas compartan la misma fecha.
| Personas | Modelo clásico: al menos un trío | Modelo histórico: al menos un trío |
|---|---|---|
| 3 | 0,000751 % | 0,000755 % |
| 10 | 0,089 % | 0,089 % |
| 23 | 1,271 % | 1,278 % |
| 30 | 2,853 % | 2,869 % |
| 50 | 12,638 % | 12,700 % |
| 87 | 49,945 % | 50,116 % |
| 88 | 51,107 % | 51,278 % |
| 100 | 64,586 % | 64,763 % |
El modelo clásico supera por primera vez el 50% con 88 personas. El modelo histórico de 366 fechas lo supera con 87. Con 87 personas, los valores son 49.945% y 50.116%, respectivamente. Por tanto, una pequeña diferencia numérica cambia el primer umbral de tamaño entero.
Esta comparación cambia tanto el peso de la fecha como si el 29 de febrero es posible. No aísla un efecto estacional ni muestra el umbral para aulas o familias reales.
¿Cómo calculamos las probabilidades del grupo?
Calculamos la posibilidad de que ninguna fecha tenga más de dos personas, y luego la restamos de 1. Una fecha puede contener cero, una o dos personas. La suma de todas esas combinaciones permitidas da la probabilidad de que no haya un triple coincidente.
Para fechas equiprobables, otro recuento agrupa las combinaciones según el número de fechas que contienen un par. Para el modelo histórico, combinamos los pesos de probabilidad de cada fecha y permitimos como máximo dos personas por fecha. Los cálculos descargables (datos en inglés) describen la recurrencia y dan los resultados sin redondear.
Multiplicar el número de tríos posibles por la probabilidad de un solo trío da el número esperado de tríos coincidentes, en lugar de la probabilidad de al menos uno. Los tríos pueden superponerse, igual que los pares de la paradoja del cumpleaños.
Fuentes y límites
Los pesos históricos usan los registros de nacimientos de Estados Unidos recopilados por FiveThirtyEight: CDC/NCHS de 1994 a 1999, seguidos de SSA de 2000 a 2014, sin años superpuestos. La cobertura administrativa difiere entre las fuentes. Ambos modelos usan selecciones independientes. Las notas de probabilidad de Berkeley explican ese supuesto.
Los años de nacimiento no tienen que coincidir. Estos cálculos no describen a todas las personas vivas, los cumpleaños mundiales ni las fechas de nacimiento dependientes dentro de una familia. Para esa última pregunta, consulta la referencia para hermanos. La metodología explica el alcance de las fuentes, y el comprobador de cumpleaños da la proporción histórica de cada fecha.
Para contar las coincidencias esperadas con una fecha conocida, usa la guía sobre cumpleaños compartidos. Para los límites específicos de las familias, consulta hermanos que comparten cumpleaños.